java产生服从正态分布的随机数

定义

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），
最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布(下图中红色曲线)。

性质

密度函数关于平均值对称
平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差 2σ 的范围内(见下图)。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差 3σ 的范围内(见下图)。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差 4σ 的范围内(见下图)。
函数曲线的拐点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
如果X ~ N(μ, σ^2)且a与b是实数，那么 aX+b ~ N(aμ+b, (aσ)^2)

深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。
在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，
根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；
三个标准差之内的比率合起来为99%。
称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。

程序实现

常用的实现方法有：

Box-Muller法

以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准正态分布随机变量X和Y:
X = sqrt(-2ln(U)) cos (2πV)
Y = sqrt(-2ln(U)) sin (2πV)

这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。

因为三角函数计算较慢，我们可以通过上述公式的一个 polar form（极坐标形式）能够简化计算

java实现：

public double normalDsitribution(double miu, double sigmaSquare){
    return miu+(randomNormalDistribution()*sigmaSquare);
}

public double randomNormalDistribution(){
    double u, v, w, c;
    do {
        //获得两个（-1,1）的独立随机变量
        u = Math.random() * 2 - 1.0;
        v = Math.random() * 2 - 1.0;
        w = u * u + v * v;
    } while (w == 0.0 || w >= 1.0);
    //这里就是 Box-Muller转换
    c = Math.sqrt((-2 * Math.log(w)) / w);
    //返回2个标准正态分布的随机数，封装进一个数组返回
    //当然，因为这个函数运行较快，也可以扔掉一个
    //return [u*c,v*c];
    return u * c;
}

JDK实现

JDK中Random类中的nextGaussian()方法，可以产生服从标准正态分布的随机数。即 X~N(0,1);

如果我们想产生自定义的正态分布呢 X~N(μ,b) b=σ^2;
可以用

1	Math.sqrt(b)*random.nextGaussian() + μ;

下面是10000测试的分布结果

Random r = new Random();
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
    r.nextGaussian() * Math.sqrt(10) + 53;
}

ziggurat算法

一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。
这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。

参考：
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/正态分布
 https://en.wikipedia.org/wiki/Box–Muller_transform
http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php

http://www.cnblogs.com/zztt/p/4025207.html
http://echarts.baidu.com/examples/editor.html?c=bar-simple